Introduzione al corso: cenni storici, definizioni alternative, impostazione...
Cenni storici Il CALCOLO DELLE PROBABILITÀ è una disciplina relativamente recente, primi accenni ad una formalizzazione risalgono alla metà del XVII secolo quando il cavaliere di Méré amico di Pascal...
View ArticlePostulati e teoremi del calcolo delle probabilità, probabilità condizonata e...
Lo spazio campione L'insieme di tutti i possibili risultati di una prova prende il nome di spazio campione e viene denotato con . Esso rappresenta l'evento che si verifica sempre poiché almeno uno...
View ArticleEsercizi ricapitolativi di calcolo delle probabilità
Esercizio 1 Un'urna contiene 70 palline di cui 26 nere, 24 gialle e 20 rosse. Calcolare la probabilità che estraendo a caso una pallina dall'urna questa sia: a) sia gialla o nera o rossa; b) sia...
View ArticleElementi di calcolo combinatorio
Introduzione In molti esperimenti occorre enumerare gli eventi elementari favorevoli al verificarsi di un evento di interesse E rispetto all'insieme degli eventi dello spazio campione . Tale...
View ArticleTeoria delle variabili casuali
Definizione di vc Un variabile casuale è una regola che associa ad ogni evento dello spazio campione un numero reale. Quindi la vc stabilisce una corrispondenza tra il dominio degli eventi ed il...
View ArticleFunzione di ripartizione e momenti delle variabili casuali
La Funzione di ripartizione La funzione di ripartizione costituisce l'elemento unificante della teoria delle vc continue e discrete: se X è continua . . se X è discreta Ed infatti l'integrale...
View ArticleMomenti delle variabili casuali
Momenti di ordine rispetto al valor medio Un secondo tipo di momenti che assume particolare rilievo è costituito dai i cd momenti di ordine r rispetto al valore medio definiti come valore medio della...
View ArticleDisuguaglianza di Cebicev, funzione generatrice dei momenti
La disuguaglianza di Cebicev- introduzione La disuguaglianza di Cebicev costituisce un risultato di fondamentale importanza nell'ambito del calcolo delle probabilità e della statistica poiché a partire...
View ArticleVc multivariate
Vc multivariate - introduzione Si consideri una prova che genera una collezione di eventi inclusi nello spazio campione . Se a ciascun evento E di tale spazio campione si associa un'unica k-pla...
View ArticleLegami tra variabili casuali
Legame tra vc Nel caso delle variabili casuali doppie del tipo (X,Y) riveste particolare interesse lo studio del legame esistente tra le due vc componenti. Studieremo due tipi di legame: Legame di tipo...
View ArticleTrasformazioni di vc, successioni e criteri di convergenza
Trasformazioni di vc Data una vc X la cui distribuzione è nota, sovente è di interesse studiare una sua trasformata Y=T(X); Ai fini di tale studio sono possibili 3 approcci alternativi che utilizzano...
View ArticleModelli per vc discrete: vc uniforme discreta e vc di Bernoulli
Famiglia parametrica di vc Sebbene gli esperimenti probabilistici siano infiniti, molti di essi sono riconducibili a degli schemi e danno luogo pertanto ad dei modelli di variabili casuali. La...
View ArticleModelli per vc discrete: la vc di Poisson
Introduzione La vc di Poisson è stata derivata da Poisson (da cui prende il nome) come limite della vc Binomiale e successivamente utilizzata da Bartwiecz nello studio del numero annuo di morti da...
View ArticleModelli per vc discrete: la vc binomiale
Introduzione La ripetizione di un esperimento bernoulljano nelle medesime condizioni dà luogo alla vc Binomiale le cui caratteristiche sono quindi le seguenti: replicazione di n prove bernoulliane le...
View ArticleModelli per vc continue: le vc uniforme continua
Introduzione La vc uniforme continua è legata ad una prova che genera quale risultato un numero reale compreso in un intervallo delimitato e caratterizzato dal fatto che sotto-intervalli di pari...
View ArticleModelli per vc continue: la vc Beta e la vc Esponenziale Negativa
Le funzioni Beta e Gamma Ai fini dello studio di alcune vc continue introduciamo due funzioni matematiche che compaiono nelle funzione di densità di tali vc. La funzione Beta è definita come: Con r ed...
View ArticleLa vc Normale Standardizzata
Introduzione La funzione di ripartizione della vc Normale definita come: non ha una forma esplicitabile. Sebbene esistano varie approssimazioni, si ricorre usualmente all vc Normale standardizzata per...
View ArticleModelli per vc continue: la vc Esponenziale Negativa e la vc Gamma
Quantili della vc Esponenziale Negativa Ricordiamo che la funzione di ripartizione della vc esponenziale negativa è definita come: Pertanto, per la definizione dei quantili si ha: da cui e quindi: Fgm...
View ArticleModelli per vc continue: la vc Normale
Introduzione La vc Normale è di gran lunga il modello per vc continue più importante; essa infatti riveste un ruolo centrale nel calcolo delle probabilità e nella statistica e tale importanza è...
View ArticleLa vc Normale Multivariata
La vc Normale Multivariata La vc Normale Multivariata costituisce la generalizzazione a più dimensioni della vc Normale. Sia il vettore delle m vc componenti ed indichiamo con il vettore dei valori...
View ArticleUso delle tavole statistiche relative alle vc connesse alla Normale
Introduzione Per le vc connesse alla vc Normale viste nella lezione precedente, ovvero la vc Chi- quadrato, la F di Fisher e la T di Student non è possibile esplicitare la funzione di ripartizione...
View ArticleAlcuni teoremi limite sulle variabili casuali
Introduzione Nell'ambito del calcolo delle probabilità assumono particolare rilievo alcuni teoremi asintotici che attengono alla convergenza di una successione di vc ad una costante oppure ad una...
View ArticleLa Famiglia esponenziale di vc
Introduzione Si è già introdotto nella lezione 22 il concetto di famiglia parametrica, ovvero insieme di vc descritte dal parametro o da un vettore di parametri che appartiene ad un insieme detto...
View ArticleVariabili casuali connesse alla Normale
Introduzione Numerose vc sono connesse alla vc Normale e rivestono una notevole importanza ai fini della inferenza statistica. Studiamo in particolare le seguenti vc: Chi- quadrato F di Fisher T di...
View ArticleEsercizi ricapitolativi
Esercizio 1 Un esperimento consiste nel lanciare un dado 2 volte. Calcolare la probabilità che al primo lancio esca un numero minore o uguale a 2 e al secondo lancio un numero uguale o superiore a 5....
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